题目

设椭圆E： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点F1、F2，其离心率e=，且点F2到直线+=1的距离为． （1）求椭圆E的方程； （2）设点P（x0，y0）是椭圆E上的一点（x0≥1），过点P作圆（x+1）2+y2=1的两条切线，切线与y轴交于A、B两点，求|AB|的取值范围． 答案：【考点】直线与椭圆的位置关系． 【分析】（1）设F1（﹣c，0），F2（c，0），依题意有，．可得c=1，a=2，b=，  （2）如图设圆的切线PM的方程为y=k（x﹣x0）+y0，由圆心（﹣1，0）到PM的距离为1，⇒|y0﹣k（x0+1）|=⇒（x02+2x0）k2﹣2y0（x0+1）k+y02﹣1=0，A（0，y0﹣kx0）．设圆的切线PN的方程为y=k1（x﹣x0）+y0，同理可得B（0，y0﹣k1x0），依题意k1，k是方程（x02+2x0）k2﹣2y0（x0+1）k+y02﹣1=0的两个实根，|AB|2=[x0（k﹣k1）]2==．由，得|AB|2=1+=1+． 【解答】解：（1）设F1（﹣c，0），F2（c，0）， 依题意有，． 又∵a2=b2+c2，∴c=1，a=2，b=， ∴椭圆E的方程为：． （2）如图设圆的切线PM的方程为y=k（x﹣x0）+y0 由圆心（﹣1，0）到PM的距离为1，⇒ |y0﹣k（x0+1）|=⇒（x02+2x0）k2﹣2y0（x0+1）k+y02﹣1=0 令y=k（x﹣x0）+y0中x=0，y=y0﹣kx0 ∴A（0，y0﹣kx0）． 设圆的切线PN的方程为y=k1（x﹣x0）+y0． 同理可得B（0，y0﹣k1x0） 依题意k1，k是方程（x02+2x0）k2﹣2y0（x0+1）k+y02﹣1=0的两个实根， k1+k=，k1k= |AB|2=[x0（k﹣k1）]2==． ∵，∴|AB|2=1+=1+ ∵1≤x0≤2，∴|AB|2=1+． ∴|AB|的取值范围为[] 【点评】本题考查了椭圆的方程，椭圆与直线的位置关系，圆的切线问题，属于难题 　

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