题目

如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，AB=OB ，点 E 、点 F 分别是 OA、OD 的中点，连接 EF， ∠ CEF=45°，EM ⊥ BC 于点 M，EM 交 BD 于点 N，FN= ，则线段 BC 的长为 _____ ． 答案： 【分析】 设 EF=x ，根据三角形的中位线定理表示 AD=2x，AD ∥ EF ，可得 ∠ CAD= ∠ CEF=45° ，证明 △ EMC 是等腰直角三角形，则 ∠ CEM=45° ，证明 △ ENF ≌△ MNB ，则 EN=MN= x，BN=FN= ，最后利用勾股定理计算 x 的值，可得 BC 的长． 【详解】 设 EF=x， ∵点 E 、点 F 分别是 OA、OD 的中点， ∴ EF 是 △ OAD 的中位线， ∴ AD=2x，AD ∥ EF， ∴∠ CAD= ∠ CEF=45°， ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AD ∥ BC，AD=BC=2x， ∴∠ ACB= ∠ CAD=45°， ∵ EM ⊥ BC， ∴∠ EMC=90°， ∴△ EMC 是等腰直角三角形， ∴∠ CEM=45°， 连接 BE， ∵ AB=OB，AE=OE ∴ BE ⊥ AO ∴∠ BEM=45°， ∴ BM=EM=MC=x， ∴ BM=FE， 易得 △ ENF ≌△ MNB， ∴ EN=MN= x，BN=FN= ， Rt △ BNM 中，由勾股定理得： BN 2 =BM 2 +MN 2 ， ∴ ( ) 2 ＝ x 2 +( x) 2 ， x=2 或 -2 （舍）， ∴ BC=2x=4 ． 故答案为 4 ． 【点睛】 本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理；解决问题的关键是设未知数，利用方程思想解决问题．

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