题目

如图，已知圆O外有一点P，作圆O的切线PM，M为切点，过PM的中点N，作割线NAB，交圆于A、B两点，连接PA并延长，交圆O于点C，连续PB交圆O于点D，若MC=BC． （1）求证：△APM∽△ABP； （2）求证：四边形PMCD是平行四边形． 答案：【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的判定． 【专题】证明题． 【分析】（I）由切割线定理，及N是PM的中点，可得PN2=NA•NB，进而=，结合∠PNA=∠BNP，可得△PNA∽△BNP，则∠APN=∠PBN，即∠APM=∠PBA；再由MC=BC，可得∠MAC=∠BAC，再由等角的补角相等可得∠MAP=∠PAB，进而得到△APM∽△ABP （II）由∠ACD=∠PBN，可得∠PCD=∠CPM，即PM∥CD；由△APM∽△ABP，PM是圆O的切线，可证得∠MCP=∠DPC，即MC∥PD；再由平行四边形的判定定理得到四边形PMCD是平行四边形． 【解答】证明：（Ⅰ）∵PM是圆O的切线，NAB是圆O的割线，N是PM的中点， ∴MN2=PN2=NA•NB， ∴=， 又∵∠PNA=∠BNP， ∴△PNA∽△BNP， ∴∠APN=∠PBN，即∠APM=∠PBA，． ∵MC=BC， ∴∠MAC=∠BAC， ∴∠MAP=∠PAB， ∴△APM∽△ABP… （Ⅱ）∵∠ACD=∠PBN， ∴∠ACD=∠PBN=∠APN，即∠PCD=∠CPM， ∴PM∥CD． ∵△APM∽△ABP， ∴∠PMA=∠BPA ∵PM是圆O的切线， ∴∠PMA=∠MCP， ∴∠PMA=∠BPA=∠MCP，即∠MCP=∠DPC， ∴MC∥PD， ∴四边形PMCD是平行四边形．… 【点评】本题考查的知识点是切割线定理，圆周角定理，三角形相似的判定与性质，平行四边形的判定，熟练掌握平面几何的基本定理是解答本题的关键．

查看本题答案和解析