题目

已知：如图，正方形ABCD的边长为a，BM，DN分别平分正方形的两个外角，且满足，连结MC，NC，MN．【小题1】（1）填空：与△ABM相似的三角形是△       ，=        ；（用含a的代数式表示）【小题2】（2）求的度数；【小题3】（3）猜想线段BM，DN和MN之间的等量关系并证明你的结论． 答案：【小题1】（1）与△ABM相似的三角形是△NDA，【小题2】（2）由（1）△ABM∽△NDA可得．………………3分∵ 四边形ABCD是正方形，∴AB=DC，DA= BC，．∴．∵ BM，DN分别平分正方形ABCD的两个外角，∴．∴△BCM∽△DNC．…………………………………………………………4分∴．∴．【小题3】（3）线段BM，DN和MN之间的等量关系是．（只猜想答案不证明不给分）证法一：如图9，将△AND绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，连接MF．则             △ABF≌△ADN．…………………………………………………6分∴，AF=AN，BF=DN，．∴．∴．又∵ AM= AM，∴△AMF≌△AMN．∴MF=MN．可得．∴在Rt△BMF中，．∴．…………………………………………7分证法二：连接BD，作ME∥BD，与DN交于点E．（如图10）可知，．……………………………………6分∵ ME∥BD，∴．∵，∴四边形BDEM是矩形．∴ME=BD，BM=DE．在Rt△MEN中，，∴  ．解析:略

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