题目

设a为实数，函数f(x)＝x3－x2－x＋a. (1)求f(x)的极值； (2)当a在什么范围内取值时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点？ 答案：(1)f(x)的极大值是f(－)＝＋a，极小值是f(1)＝a－1.(2). 【解析】试题分析： (1)首先求得导函数，然后列表考查函数的单调性，据此可得f(x)的极大值是f(－)＝＋a，极小值是f(1)＝a－1. (2)由题意结合(1)中的极值的结论可得实数a的取值范围是. 试题解析： (1)f′(x)＝3x2－2x－1. 令f′(x)＝0，则x＝－或x＝1. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞，－) － (－，1) 1 (1，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以f(x)的极大值是f(－)＝＋a， 极小值是f(1)＝a－1. (2)函数f(x)＝x3－x2－x＋a＝(x－1)2(x＋1)＋a－1， 由此可知，x取足够大的正数时， 有f(x)＞0，x取足够小的负数时，有f(x)＜0， 曲线y＝f(x)与x轴至少有一个交点． 由(1)知f(x)极大值＝f(－)＝＋a， f(x)极小值＝f(1)＝a－1. ∵曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点， ∴f(x)极大值＜0或f(x)极小值＞0， 即＋a＜0或a－1＞0， ∴a＜－或a＞1， ∴当a∈(－∞，－)∪(1，＋∞)时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点． 点睛：(1)可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同． (2)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．

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