题目

若函数f(x)＝ax3－bx＋4，当x＝2时，函数f(x)有极值－. (1)求函数的解析式； (2)若关于x的方程f(x)＝k有三个零点，求实数k的取值范围． 答案：解：由题意可知f′(x)＝3ax2－b， (1)于是解得 故所求的解析式为f(x)＝x3－4x＋4. (2)由(1)可知f′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2)， 令f′(x)＝0，得x＝2，或x＝－2. 当x变化时f′(x)、f(x)的变化情况如下表所示： x (－∞，－2) －2 (－2,2) 2 (2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 单调递增 单调递减 － 单调递增 因此，当x＝－2时，f(x)有极大值； 当x＝2时，f(x)有极小值－. 所以函数的大致图象如图． 故实数k的取值范围是－＜k＜.

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