题目

若存在实常数和，使得函数和对其定义域上的任意实数分别满足：和，则称直线为和的“隔离直线”．已知，（其中为自然对数的底数）． (1)求的极值； (2) 函数和是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由． 答案：当时，取极小值，其极小值为;． 函数和存在唯一的隔离直线． 解析:解:(1) ， ．  当时，．当时，，此时函数递减；  当时，，此时函数递增；∴当时，取极小值，其极小值为． (2)解法一：由（1）可知函数和的图象在处有公共点， 因此若存在和的隔离直线，则该直线过这个公共点． 设隔离直线的斜率为，则直线方程为，即． 由，可得当时恒成立 ， 由，得． 下面证明当时恒成立．令， 则， 当时，． 当时，，此时函数递增；当时，，此时函数递减 ∴当时，取极大值，其极大值为．从而，即恒成立．       ∴函数和存在唯一的隔离直线．

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