题目

已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d＞0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{bn}的第2项、第3项、第4项． （1）求数列{an}与{bn}的通项公式； （2）设数列{cn}对任意n∈N*均有++…+=an+1成立，求c1+c2+c3+…+c2015的值． 答案：【考点】数列的求和；数列递推式． 【分析】（1）通过a1=1，进而表示出b2=a2=1+d、b3=a5=1+4d、b4=a14=1+13d，利用=b2b4计算可知d=2，从而an=2n﹣1，进而可知等比数列{bn}的公比q=3，计算即得结论； （2）通过++…+=an+1与++…+=an作差，整理可知cn=2•3n﹣1，进而可知数列{cn}的通项公式，利用等比数列的求和公式计算即得结论． 【解答】解：（1）依题意，b2=a2=1+d， b3=a5=1+4d，b4=a14=1+13d， ∵=b2b4， ∴（1+4d）2=（1+d）（1+13d）， 解得：d=2或d=0（舍）， ∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1， ∵等比数列{bn}的公比q====3， ∴bn=3•3n﹣2=3n﹣1； （2）∵++…+=an+1， ∴当n≥2时， ++…+=an， 两式相减得： =an+1﹣an=2， ∴cn=2bn=2•3n﹣1， 又∵c1=a2b1=3不满足上式， ∴cn=， ∴c1+c2+c3+…+c2015=3+ =3﹣3+32015 =32015． 　

查看本题答案和解析