题目

如图，中，，为的中点．操作：过点做的垂线，过点作的平行线，两直线相交于点，在的延长线上截取，联结、．（1）试判断与之间有怎样的关系，并证明你所得的结论；（2）如果，，求的长．答案：解：（1）如图①，过点G作于M. 在正方形EFGH中， . ………………………1分又∵， ∴⊿AHE≌⊿BEF. ………………………2分同理可证：⊿MFG≌⊿BEF. ………………………3分 ∴GM=BF=AE=2. ∴FC=BC-BF=10. ………………………4分（2）如图②，过点G作于M.连接HF. ………………………5分又 ∴⊿AHE≌⊿MFG. ………………………6分 ∴GM=AE=2. ………………………7分 ………………………8分（3）⊿GFC的面积不能等于2. ………………………9分 ∵若则12- a =2，∴a=10. 此时，在⊿BEF中， ……………10分在⊿AHE中， .…11分 ∴AH＞AD. 即点H已经不在边AB上. 故不可能有 ………………………………………12分解法二：⊿GFC的面积不能等于2. ………………………9分 ∵点H在AD上， ∴菱形边长EH的最大值为. ∴BF的最大值为. ………………………10分又因为函数的值随着a的增大而减小，所以的最小值为. ………………………11分又∵，∴⊿GFC的面积不能等于2. ………………12分

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