题目

（本小题满分14分） 执行下面框图所描述的算法程序，记输出的一列数依次为，，…，，，．（注：框图中的赋值符号“”也可以写成“”或“：”） （1）若输入，写出输出结果； （2）若输入，求数列的通项公式； （3）若输入，令，求常数（），使得是等比数列．   答案：（本小题满分14分） 解 （1）输出结果是：0，，．……3分 （2）（法一）由程序框图可知， ，，，． 所以，当时， ，    …………………5分 ， 而中的任意一项均不为1， （否则的话，由可以得到， …，与矛盾）， 所以，， （常数），，． 故是首项为，公差为的等差数列，     ……………………………7分 所以，，数列的通项公式为，，．…8分 （法二）当时，由程序框图可知，，，，，…… 猜想，，．       …………………………………………5分 以下用数学归纳法证明： ①当时，，猜想正确； ②假设（，）时，猜想正确．即，………………7分 那么，当时， 由程序框图可知，．即时，猜想也正确． 由①②，根据数学归纳法原理，猜想正确，，． ……8分 （3）（法一）当时， ， 令，则，，．  …………10分 此时，，             ………………………………12分 所以，，，又， 故存在常数（）， 使得是以为首项，为公比的等比数列．          ……………………………14分 （法二）当时，令，即，解得，…10分 因为，，． 所以，     ① ，② 12分 ①÷②，得， 即，，，又， 故存在常数（） 使得是以为首项，为公比的等比数列．          ……………………………14分

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