题目

已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点为． （Ⅰ）求抛物线的方程； （Ⅱ）若点为抛物线的准线上的任意一点，过点作抛物线的切线与，切点    分别为，求证：直线恒过某一定点； (Ⅲ)分析(Ⅱ)的条件和结论，反思其解题过程，再对命题(Ⅱ)进行变式和推广．请写出一个你发现的真命题，不要求证明（说明：本小题将根据所给出的命题的正确性和一般性酌情给分）． 答案： 本题主要考查抛物线的标准方程与性质、直线与抛物线的位置关系、归纳推理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、特殊与一般思想等． 解：（Ⅰ）依题意可设抛物线的方程为：（）． 由焦点为可知，所以． 所以所求的抛物线方程为．····················· 4分 （Ⅱ）方法一： 设切点、坐标分别为，由（Ⅰ）知，． 则切线的斜率分别为， 故切线的方程分别为，，··· 5分 联立以上两个方程，得.故的坐标为，······· 6分 因为点在抛物线的准线上，所以，即．········ 7分 设直线的方程为，代入抛物线方程，得， 所以，即，所以．················· 9分 故的方程为，故直线恒过定点．············ 10分 方法二：设切点、坐标分别为，设， 易知直线斜率必存在，可设过点的切线方程为． 由，消去并整理得．······ ① 因为切线与抛物线有且只有一个交点， 所以，整理得，········· ② 所以直线斜率为方程②的两个根，故，········· 5分 另一方面，由可得方程①的解为， 所以．·························· 6分 假设存在一定点，使得直线恒过该定点，则由抛物线对称性可知该定点必在轴 上，设该定点为，························· 7分 则．所以， 所以，整理得所以， 所以························· 9分 所以直线过定点．························ 10分 （Ⅲ）结论一：若点为直线（）上的任意一点，过点作抛物线（）的切线，切点分别为，则直线恒过定点．················· 14分 结论二：过点（）任作一条直线交抛物线于两点，分别以点为切点作该抛物线的切线，两切线交于点，则点必在定直线上． ···································· 14分 结论三：已知点为直线上的一点，若过点可以作两条直线与抛物线（）相切，切点分别为，则直线恒过定点．·················· 14分 说明：①以上两结论只要给出其中一个即可或给出更一般性的结论； ②以上两结论中的抛物线开口方向均可改变； ③该小题评分可对照以下表格分等级给分： 得分 答题情况 0分 写出与命题（ⅰ）无关的结论． 所给命题的条件与结论均存在问题． 1分 将准线或抛物线改为其它特殊情况，结论正确. 将准线或抛物线其中一个一般化，但结论中的定点（或定直线）有误． 2分 写出命题的逆命题，结论正确.( 其它分点逆命题相应给分) 将准线和抛物线都推广成一般情况，但结论中的定点（或定直线）有误． 3分 将准线和抛物线其中一个推广成一般情况，结论正确． 将准线和抛物线都推广成一般情况，但中漏写一个或两个． 4分 将准线和抛物线都推广成一般情况，结论正确．

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