题目

如图所示，在光滑绝缘水平面上有两个带电小球A、B，质量分别为3m和m，小球A带正电q，小球B带负电-2q，开始时两小球相距s0，小球A有一个水平向右的初速度v0，小球B的初速度为零，若取初始状态下两小球构成的系统的电势能为零，则：（1）试证明：当两小球的速度相同时系统的电势能最大，并求出该最大值；（2）在两小球的间距仍不小于s0的运动过程中，求出系统的电势能与系统动能的比值的取值范围。 答案：解：（1）由于两小球构成的系统合外力为零，设某状态下两小球的速度分别为vA和vB，由动量守恒定律得3mv0=3mvA+mvB  ① 所以，系统的动能减小量为ΔEk=3mv02-3mvA2-mvB2  ② 由于系统运动过程中只有电场力做功，所以系统的动能与电势能之和守恒，考虑到系统初状态下电势能为零，故该状态下的电势能可表示为Epe=ΔEk=3mv02-3mvA2-mvB2  ③ 联立①③两式，得Epe=-6mvA2+9mv0vA-3mv02  ④ 由④式得：当vA=  ⑤ 时，系统的电势能取得最大值，而将⑤式代入①式，得vA=vB=  ⑥ 即当两小球速度相同时系统的电势能最大，最大值为Epemax=。  ⑦ （2）由于系统的电势能与动能之和守恒，且初始状态下系统的电势能为零，所以在系统电势能取得最大值时，系统的动能取得最小值，为Ekmin=Ek0-Epemax=3mv02-mv02=mv02  ⑧ 由于Ekmin＞Epemax  ⑨所以在两球间距仍不小于s0的运动过程中，系统的电势能总小于系统的动能。在这过程中两种能量的比值的取值范围为0≤≤=。  ⑩ 考查动量守恒定律，能量转化和守恒定律。

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