题目

已知f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，且对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]=3，则方程f（x）﹣f′（x）=2的解所在的区间是（　　） 　 A． （0，） B． （，1） C． （1，2） D． （2，3） 答案：考点： 根的存在性及根的个数判断；对数函数图象与性质的综合应用． 专题： 计算题． 分析： 根据题意，由单调函数的性质，可得f（x）﹣log2x为定值，可以设t=f（x）﹣log2x，则f（x）=log2x+t，又由f（t）=3，即log2t+t=3，解可得t的值，可得f（x）的解析式，对其求导可得f′（x）；将f（x）与f′（x）代入f（x）﹣f′（x）=2，变形化简可得log2x﹣=0，令h（x）=log2x﹣，由二分法分析可得h（x）的零点所在的区间为（1，2），结合函数的零点与方程的根的关系，即可得答案． 解答： 解：根据题意，对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]=3， 又由f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数， 则f（x）﹣log2x为定值， 设t=f（x）﹣log2x，则f（x）=log2x+t， 又由f（t）=3，即log2t+t=3， 解可得，t=2； 则f（x）=log2x+2，f′（x）=， 将f（x）=log2x+2，f′（x）=代入f（x）﹣f′（x）=2， 可得log2x+2﹣=2， 即log2x﹣=0， 令h（x）=log2x﹣， 分析易得h（1）=＜0，h（2）=1﹣＞0， 则h（x）=log2x﹣的零点在（1，2）之间， 则方程log2x﹣=0，即f（x）﹣f′（x）=2的根在（1，2）上， 故选C． 点评： 本题考查二分法求函数的零点与函数零点与方程根的关系的应用，关键点和难点是求出f（x）的解析式．

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