题目

在Rt△ABC中,∠=90°,三角形的角平分线CE和高AD相交于点F,过F作FG∥BC交AB于点G,求证:(1)AE=BG.(2)若∠=30°,,求四边形的面积.  答案:略解析:证明:∵∠BAC=900           AD⊥BC         ∴∠1=∠B         ∵CE是角平分线         ∴∠2=∠3         ∵∠5=∠1+∠2           ∠4=∠3+∠B         ∴∠4=∠5         ∴AE=AF……………1分         过F作FM⊥AC并延长MF交BC于N         ∴MN//AB         ∵FG//BD         ∴四边形GBDF为平行四边形         ∴GB=FN……………2分         ∵AD⊥BC,CE为角平分线         ∴FD=FM          在Rt△AMF和RtNDF中                  ∴△AMF≌△NDF         ∴AF=FN         ∴AE=BG……………5分    (2)∵∠B=300           AB//NF         ∴∠8=300        在Rt△FDN中,FN=2FD=10         ∴AF=AE=BG=FN=10         ∴∠BAD=600         ∴△AEF为等边△         ∴EF=AE=10         ∵GF//BC         ∴∠EGB=∠B=300           ∠4=∠9+∠10=600         ∴∠9=∠10=300            EG=EF=10         在Rt△ABC中,tan300=         ∴AC=10     ∠2=300        在Rt△CDF中,tan∠=         ∴CD=S四EBDF=S△ABC-S△AEC-S△CDF=      ……………10分 
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