题目

如图，在平面直角坐标系xOy中，AB在x轴上，以AB为直径的半⊙O’与y轴正半轴交于点C，连接BC，AC．CD是半⊙O’的切线，AD⊥CD于点D． （1）求证：∠CAD =∠CAB； （2）已知抛物线过A、B、C三点，AB=10 ，tan∠CAD=． ① 求抛物线的解析式；    ② 判断抛物线的顶点E是否在直线CD上，并说明理由； ③ 在抛物线上是否存在一点P，使四边形PBCA是直角梯形．若存在，直接写出点P的坐标(不写求解过程)；若不存在，请说明理由． 解：   答案： (1)证明：连接O'C,∵ CD是⊙O’的切线    ∴ O'C⊥CD. ∵ AD⊥CD,∴ O'C‖AD,∴ ∠O’CA=∠CAD ∵ O’A=O'C, ∴∠O’CA=∠CAB  ∴ ∠CAD=∠CAB   (2)∵AB是⊙O’的直径，∴∠ACB=90°.  ∵OC⊥AB,∴∠CAB=∠OCB,∴∆CAO∽∆BCO∴即OC²=OA∙ OB ∵tan∠CAO=tan∠CAD=,  ∴AO=2CO 又 ∵AB=10,∴OC²=2CO(10-2CO),  ∵CO>0  ∴CO=4,AO=8,BO=2 ∴A(-8,0),B(2,0),C(0,4) ..∵ 抛物线y=ax²+bx+c过A、B、C三点，∴c=4 ∴      解得      ‚设直线DC交x轴于点F，易得∆AOC∽∆ADC  ∴ AD=AO=8,  ∵O'C‖AD  ∴∆FO’C∽∆FAD  ∴ ∴8(BF+5)=5(BF+10),  ∴  BF=,  F(,0) 设直线DC的解析式为y=kx+m,则   即 ∴                         . 由 将E（-3，）代入直线DC的解析式中 右边=  ∴ 抛物线顶点E在直线CD上  . ƒ存在,  

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