题目

如图，在四棱锥A﹣EFCB中，△AEF为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF∥BC，BC=4，EF=2a，∠EBC=∠FCB=60°，O为EF的中点． （Ⅰ）求证：AO⊥BE． （Ⅱ）求二面角F﹣AE﹣B的余弦值； （Ⅲ）若BE⊥平面AOC，求a的值． 答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质． 【专题】空间位置关系与距离；空间角． 【分析】（Ⅰ）根据线面垂直的性质定理即可证明AO⊥BE． （Ⅱ）建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角F﹣AE﹣B的余弦值； （Ⅲ）利用线面垂直的性质，结合向量法即可求a的值 【解答】证明：（Ⅰ）∵△AEF为等边三角形，O为EF的中点， ∴AO⊥EF， ∵平面AEF⊥平面EFCB，AO⊂平面AEF， ∴AO⊥平面EFCB ∴AO⊥BE． （Ⅱ）取BC的中点G，连接OG， ∵EFCB是等腰梯形， ∴OG⊥EF， 由（Ⅰ）知AO⊥平面EFCB， ∵OG⊂平面EFCB，∴OA⊥OG， 建立如图的空间坐标系， 则OE=a，BG=2，GH=a，BH=2﹣a，EH=BHtan60°=， 则E（a，0，0），A（0，0，a），B（2，，0）， =（﹣a，0，a），=（a﹣2，﹣，0）， 设平面AEB的法向量为=（x，y，z）， 则，即， 令z=1，则x=，y=﹣1， 即=（，﹣1，1）， 平面AEF的法向量为， 则cos＜＞== 即二面角F﹣AE﹣B的余弦值为； （Ⅲ）若BE⊥平面AOC， 则BE⊥OC， 即=0， ∵=（a﹣2，﹣，0），=（﹣2，，0）， ∴=﹣2（a﹣2）﹣3（a﹣2）2=0， 解得a=． 【点评】本题主要考查空间直线和平面垂直的判定以及二面角的求解，建立坐标系利用向量法是解决空间角的常用方法．

查看本题答案和解析