题目

如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，AB1与A1B相交于点D，E是CC1上的点，且DE∥平面ABC，BC=1，BB1=2． （Ⅰ）证明：B1E⊥平面ABE （Ⅱ）若异面直线AB和A1C1所成角的正切值为，求二面角A﹣B1E﹣A1的余弦值． 答案：【考点】MT：二面角的平面角及求法；LW：直线与平面垂直的判定． 【分析】（Ⅰ）推导出B1E⊥AB，BE⊥B1E，由此能证明B1E⊥平面ABE． （Ⅱ）由AC∥A1C1，知∠BAC（或∠BAC的补角）是异面直线AB和A1C1所成角，以B为原点，BC为x轴，BB1为y轴，BA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣B1E﹣A1的余弦值． 【解答】证明：（Ⅰ）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，B1E⊂面BB1C1C， ∴B1E⊥AB， ∵AB1与A1B相交于点D，∴D是AB1的中点， 取BB1中点O，连结DO，EO，则DO∥平面ABC， ∵DE∥平面ABC，DE∩DO=D， ∴平面DEO∥平面ABC， ∴OE∥BC，∴E是CC1的中点， ∴BE=B1E==， ∴BE2+B1E2=BB12，∴BE⊥B1E， ∵BE∩AB=B，∴B1E⊥平面ABE． 解：（Ⅱ）∵AC∥A1C1， ∴∠BAC（或∠BAC的补角）是异面直线AB和A1C1所成角， ∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C， ∴AB⊥BC，∵异面直线AB和A1C1所成角的正切值为， ∴tan=， ∵BC=1，BB1=2，∴AB=， 以B为原点，BC为x轴，BB1为y轴，BA为z轴，建立空间直角坐标系， E（1，1，0），A（0，0，），B1（0，2，0），A1（0，2，）， =（﹣1，﹣1，），=（﹣1，1，0），=（﹣1，1，）， 设平面AB1E的法向量=（x，y，z）， 则，取x=，得=（，2）， 设平面A1B1E的法向量=（a，b，c）， 则，取a=1，得=（1，1，0）， 设二面角A﹣B1E﹣A1的平面角为θ， 则cosθ===． ∴二面角A﹣B1E﹣A1的余弦值为．

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