题目

如图，已知直线 AB：y= x+ 分别交 x 轴、 y 轴于点 B、A 两点 ,C（3，0），D、E 分别为线段 AO 和线段 AC 上一动点， BE 交 y 轴于点 H, 且 AD＝CE ，当 BD＋BE 的值最小时，则 H 点的坐标为（ ） A ． （ 0，4） B ． （ 0，5） C ． （ 0， ） D ． （ 0， ） 答案： A 【分析】 作 EF⊥BC 于 F ，设 AD=EC=x ．利用勾股定理可得 BD+BE= + = + ，要求 BD+BE 的最小值，相当于在 x 轴上找一点 M（x，0 ），使得点 M 到 G（ ， 3），K（ ， ）的距离之和最小． 【详解】 解：由题意 A（0， ）， B（-3，0），C（3，0）， ∴AB=AC=8， 作 EF⊥BC 于 F ，设 AD=EC=x． ∵EF∥AO， ∴ ， ∴EF= ， CF= ， ∵OH∥EF， ∴ ， ∴OH= ， ∴BD+BE= + = + ， 要求 BD+BE 的最小值，相当于在 x 轴上找一点 M（x，0 ），使得点 M 到 K（ ， 3），G（ ， ）的距离之和最小． 设 G 关于 x 轴的对称点 G′（ ， ） ，直线 G′K 的解析式为 y=kx+b， 则有 ， 解得 k= ， b= ， ∴直线 G′K 的解析式为 y= x ， 当 y=0 时， x= ， ∴当 x= 时， MG+MK 的值最小，此时 OH= = =4， ∴当 BD+BE 的值最小时，则 H 点的坐标为（ 0，4）， 故选 A． 【点睛】 本题考查一次函数图象上的点的特征、轴对称最短问题、勾股定理、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题．

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