题目

如图，在四棱锥P—ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC，M、N分别为PC、PB的中点.(Ⅰ)求证：PB⊥DM；(Ⅱ)求CD与平面ADMN所成的角. 答案：方法一：(Ⅰ)因为N是PB的中点，PA=AB，所以AN⊥PB.    因为AD⊥平面PAB，所以AD⊥PB，从而PB⊥平面ADMN.    因为DM平面ADMN，所以PB⊥DM.(Ⅱ)取AD的中点G，连结BG、NG，则BG∥CD，    所以BG与平面ADMN所成的角和CD与平面ADMN所成的角相等.    因为PB⊥平面ADMN，所以∠BGN是BG与平面ADMN所成的角.    在Rt△BGN中，sin∠BGN=.    故CD与平面ADMN所成的角是arcsin.方法二：如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系A-xyz,设BC=1，则A(0，0，0)，P(0，0，2)，B(2，0，0)，C(2，1，0)，M(1，，1)，D(0，2，0).(Ⅰ)因为·=(2，0，-2)·(1，-，1)=0，    所以PB⊥DM.(Ⅱ)因为·=(2，0，-2)·(0，2，0)=0，    所以PB⊥AD，    又因为PB⊥DM，    所以PB⊥平面ADMN.    因此〈，〉的余角即是CD与平面ADMN所成的角.    因为cos〈,〉==，    所以CD与平面ADMN所成的角为arcsin.

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