题目

已知ab≠0,求证：a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0. 答案：证明：必要性：∵a+b=1,即b=1-a,∴a3+b3+ab-a2-b2=a3+（1-a）3+a（1-a）-a2-（1-a）2=a3+1-3a+3a2-a3+a-a2-a2-1+2a-a2=0.充分性：∵a3+b3+ab-a2-b2=0,即（a+b）（a2-ab+b2）-（a2-ab+b2）=0,∴（a2-ab+b2）（a+b-1）=0.由ab≠0,即a≠0且b≠0,∴a2-ab+b2=（a-）2+≠0,只有a+b=1.综上可知，当ab≠0时，a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.

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