题目

如图，四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD，M、N分别是PC、AB的中点.求证：MN⊥平面PCD. 答案：思路分析：证明线面垂直，需要证明线与平面内两条相交直线垂直，即转化为线线的垂直，非零空间向量的数量积为零可以解决线线垂直的关系.证明:设=a,=b,=c,则{a,b,c}为空间的一个基底.则=(a+b+c)=(a+c).∵=b,=c-a,PA⊥矩形ABCD，∴PA⊥AB，PA⊥AD.且AB⊥AD.∴a·b=0,b·c=0,c·a=0.故·=(a+c)·b=(a·b+c·b)=0,·=(a+c)·(c-a)=(|c|2-|a|2)=(||2-||2)=0.∴MN⊥DC,MN⊥PD.又DC∩PD=D，∴MN⊥平面PCD.

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