题目

已知：关于x的一元一次方程kx=x+2 ①的根为正实数，二次函数y=ax2−bx+kc（c≠0）的图象与x轴一个交点的横坐标为1．【小题1】（1）若方程①的根为正整数，求整数k的值；【小题2】（2）求代数式的值；【小题3】（3）求证：关于x的一元二次方程ax2−bx+c="0" ②必有两个不相等的实数根． 答案：【小题1】解：（1）解：由kx=x+2，得（k-1）x=2．依题意k-1≠0．∴．     ……………………………………1分∵方程的根为正整数，k为整数，∴k-1=1或k-1=2．∴k1= 2，k2=3．        …………………………………………………2分【小题2】（2）解：依题意，二次函数y=ax2-bx+kc的图象经过点（1，0），∴ 0 =a-b+kc， kc = b-a．∴ = …3分【小题3】（3）证明：方程②的判别式为Δ=（-b）2-4ac= b2-4ac．  由a≠0，c≠0，得ac≠0．证法一：（i）若ac<0，则-4ac>0．故Δ=b2-4ac>0．此时方程②有两个不相等的实数根．……4分（ii）若ac>0，由（2）知a-b+kc =0，故b=a+kc．Δ=b2-4ac= （a+kc）2-4ac=a2+2kac+（kc）2-4ac = a2-2kac+（kc）2+4kac-4ac=（a-kc）2+4ac（k-1）．    …………………………………………………5分∵方程kx=x+2的根为正实数，∴方程（k-1）x=2的根为正实数．由x>0， 2>0，得k-1>0．              …………………………………6分∴ 4ac（k-1）>0．  ∵（a-kc）2³0，∴Δ=（a-kc）2+4ac（k-1）>0．此时方程②有两个不相等的实数根． …………7分证法二：（i）若ac<0，则-4ac>0．故Δ=b2-4ac>0．此时方程②有两个不相等的实数根．……4分（ii）若ac>0，∵抛物线y=ax2-bx+kc与x轴有交点，∴Δ1=（-b）2-4akc =b2-4akc³0． （b2-4ac）-（ b2-4akc）=4ac（k-1）．    由证法一知k-1>0，∴b2-4ac> b2-4akc³0．∴Δ= b2-4ac>0．此时方程②有两个不相等的实数根．  …………………7分综上，方程②有两个不相等的实数根．证法三：由已知，，∴可以证明和不能同时为0（否则），而，因此．解析:略

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