题目

（本小题满分12分） 已知 求g(x)=的单调区间； 证明：当x1时，2x-e恒成立； 任取两个不相等的正数且<若存在使成立，证明：。 答案：解：(1)g(x)=lnx+ 得x=k   ——2分 时 所以函数g(x)的增区间为，无减区间； 当k>0时得x>k ; 得0<x<k 增区间为 , 减区间为(0,k)————————————4分 (2)设h(x)=xlnx-2x+e(x1)令得x=e 所以 x 1 (1,e) e (e,+) - 0 + h(x) e-2 0 所以h(x)0    f(x)2x-e——————————-————6分 设G(x)=lnx- 所以G(x)为增函数，所以G(x) 所以lnx-所以 综上：当x1时，2x-e恒成立———————8分 (3)       ——10分 设H(t)=lnt+1-t(0<t<1)  所以H(t)在（0，1）上是增函数，并且H(t)在t=1处有意义 所以H(t)<H(1)=0     ——12分

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