题目

设C为线段AB的中点，四边形BCDE是以BC为一边的正方形．以B为圆心，BD长为半径的⊙B与AB相交于F点，延长EB交⊙B于G点，连接DG交于AB于Q点，连接AD． 求证：（1）AD是⊙B的切线； （2）AD=AQ； （3）BC2=CF•EG． 答案：证明：（1）连接BD， ∵四边形BCDE是正方形， ∴∠DBA=45°，∠DCB=90°，即DC⊥AB， ∵C为AB的中点， ∴CD是线段AB的垂直平分线， ∴AD=BD， ∴∠DAB=∠DBA=45°， ∴∠ADB=90°， 即BD⊥AD， ∵BD为半径， ∴AD是⊙B的切线； （2）∵BD=BG， ∴∠BDG=∠G， ∵CD∥BE， ∴∠CDG=∠G， ∴∠G=∠CDG=∠BDG=∠BCD=22.5°， ∴∠ADQ=90°﹣∠BDG=67.5°，∠AQB=∠BQG=90°﹣∠G=67.5°， ∴∠ADQ=∠AQD， ∴AD=AQ； （3）连接DF， 在△BDF中，BD=BF， ∴∠BFD=∠BDF， 又∵∠DBF=45°， ∴∠BFD=∠BDF=67.5°， ∵∠GDB=22.5°， 在Rt△DEF与Rt△GCD中， ∵∠GDE=∠GDB+∠BDE=67.5°=∠DFE，∠DCF=∠E=90°， ∴Rt△DCF∽Rt△GED， ∴， 又∵CD=DE=BC， ∴BC2=CF•EG． 　

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