题目

（19）如图，在长方体中，分别是的中点，分别是的中点， （Ⅰ）求证：面；（Ⅱ）求二面角的大小。（Ⅲ）求三棱锥的体积。 答案：本小题主要考察长方体的概念、直线和平面、平面和平面的关系等基础知识，以及空间想象能力和推理能力。解法一：（Ⅰ）证明：取的中点，连结       ∵分别为的中点       ∵       ∴面，面     ∴面面   ∴面（Ⅱ）设为的中点∵为的中点   ∴   ∴面作，交于，连结，则由三垂线定理得从而为二面角的平面角。在中，，在中，故：二面角的大小为      （Ⅲ）作，交于，由面得∴面∴在中，∴解法二：以为原点，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立直角坐标系，则       ∵分别是的中点∴（Ⅰ）       取n=(0,1,0)，显然n面        ·n＝0，∴n又面  ∴面（Ⅱ）过作，交于，取的中点，则设，则又由，及在直线上，可得: 解得∴ ∴   即∴与所夹的角等于二面角的大小故：二面角的大小为（Ⅲ）设n1=(x1,y1,z1)为平面的法向量，则n1, n1     又     ∴        即        ∴可取n1=(4,-1,2)     ∴点到平面的距离为         ∵，       ∴     ∴ 

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