题目

如图，AB为⊙O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交弧AC于点D，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点E． （1）求证：AC∥DE； （2）连接AD、CD、OC．填空 ①当∠OAC的度数为　   　时，四边形AOCD为菱形； ②当OA＝AE＝2时，四边形ACDE的面积为　   　． 答案：证明：（1）∵F为弦AC的中点， ∴AF＝CF，且OF过圆心O ∴FO⊥AC， ∵DE是⊙O切线 ∴OD⊥DE ∴DE∥AC （2）①当∠OAC＝30°时，四边形AOCD是菱形， 理由如下：如图，连接CD，AD，OC， ∵∠OAC＝30°，OF⊥AC ∴∠AOF＝60° ∵AO＝DO，∠AOF＝60° ∴△ADO是等边三角形 又∵AF⊥DO ∴DF＝FO，且AF＝CF， ∴四边形AOCD是平行四边形 又∵AO＝CO ∴四边形AOCD是菱形 ②如图，连接CD， ∵AC∥DE ∴△AFO∽△ODE ∴ ∴OD＝2OF，DE＝2AF ∵AC＝2AF ∴DE＝AC，且DE∥AC ∴四边形ACDE是平行四边形 ∵OA＝AE＝OD＝2 ∴OF＝DF＝1，OE＝4 ∵在Rt△ODE中，DE＝＝2 ∴S四边形ACDE＝DE×DF＝2×1＝2 故答案为：2

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