题目

已知F1(-2，0)、F2(2，0)，点P满足|PF1|-|PF2|=2，记点P的轨迹为E.(1)求E的方程；(2)若直线l过F2，且与轨迹E交于P、Q两点.①无论直线l绕点F2如何转动，在x轴上总存在定点M(m，0)，使MP⊥QM恒成立，求实数m的值.②过P、Q作直线x=的垂线PA、QB,垂足分别是A、B，记λ=，求λ的取值范围. 答案：解：(1)由|PF1|-|PF2|=2＜|F1F2|知，点P的轨迹E是以F1、F2为焦点的双曲线右支，由c=2，2a=2，∴b2=3，故轨迹E的方程为x2=1(x≥1).                        (2)当直线l的斜率存在时，设直线方程为y=k(x-2),P(x1,y1),Q(x2,y2)，与双曲线方程联立消y得(k2-3)x2-4k2x+4k2+3=0，∴解得k2＞3.                                          ①∵=(x1-m)(x2-m)+y1y2=(x1-m)(x2-m)+k2(x1-2)(x2-2)=(k2+1)x1x2-(2k2+m)(x1+x2)+m2+4k2=+m2+4k2=+m2.                                                         ∵MP⊥MQ，∴=0，故得3(1-m2)+k2(m2-4m-5)=0对任意的k2＞3恒成立，∴解得m=-1,∴当m=-1时，MP⊥MQ.当直线l的斜率不存在时，由P(2，3)、Q(2，-3)及M(-1，0)知结论成立，综上，当m=-1时，MP⊥MQ.                                                   ②∵a=1,c=2，直线x=是双曲线的右准线，                                     由双曲线定义得：|PA|=|PF2|=|PF2|,|QB|=|QF2|，方法一：λ=. ∵k2＞3，∴0＜,故＜λ＜，                                       注意到直线的斜率不存在时，|PQ|=|AB|，此时λ=，综上，λ∈［).                                                         方法二：设直线PQ的倾斜角为θ，由于直线PQ与双曲线右支有两个交点，∴＜θ＜，过Q作QC⊥PA，垂足为C，则∠PQC=|-θ|，∴λ=.                               由＜θ＜，得＜sinθ≤1，故λ∈［).

查看本题答案和解析