题目

已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x）的图象关于直线x =2对称． （Ⅰ）证明：f（x+4）= f（x）； （Ⅱ）当x∈（4,6）时，f（x）= ．讨论函数f（x）在区间（0，2）上的单调性． 答案： 解法一：（Ⅰ）设点P（x，y）是函数y=f（x）图象上任意一点，因为函数f（x）的图象关于直线x=2对称，所以点Q（4-x，y）也在该函数图象上． 所以f（x）=f（4-x）．  因为函数f（x）是偶函数， 所以f（-x）=f（x），所以f（-x）=f（4-x），所以f（x+4）= f（x）． （Ⅱ）因为当x∈（4，6）时,f（x）= 当0<x<2时，4<x+4<6， 由（Ⅰ）知f（x） = f（x+4）= = = 令0，得x=-3或x=l，因为0<x<2，所以x=1． 因为x∈（0，1）时，<0，x∈（1，2）时, >0， 所以函数以f（x）在（0，1）内单调递减，在（1，2）内单调递增． 解法二：（Ⅰ）同解法一． （Ⅱ）当4<x<6时, f（x）= , =     令f′（x）=0，得x=1或x=5．因为4<x<6，所以x=5．     因为x∈（4，5）时,<0，x∈（5，6）时，>0．     所以函数f（x）在（4，5）内单调递减，在（5，6）内单调递增．     因为f（x+4）= f（x），所以f（x）是以4为周期的周期函数，     所以函数f（x）在（0，1）内单调递减，在（1，2）内单调递增．

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