题目

已知函数f（x）=ln（1+x）． （1）若函数g（x）=f（e4x）+ax，且g（x）是偶函数，求a的值； （2）若h（x）=f（x）[f （x）+2m﹣1]在区间[e﹣1，e3﹣1]上有最小值﹣4，求m的值． 　 　 答案：【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断． 【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用． 【分析】（1）先求出g（x）=ln（1+e4x）+ax，由g（x）为偶函数，便可得到ln（1+e﹣4）﹣a=ln（1+e4）+a，这样便可求出a的值； （2）可设f（x）=t，可得到t∈[1，3]，设y=h（x），从而有，可讨论和区间[1，3]的关系：分和三种情况，在每种情况里，根据y的最小值为﹣4便可建立关于m的方程，解方程即得m的值． 【解答】解：（1）g（x）=f（e4x）+ax=ln（1+e4x）+ax，g（x）为偶函数； ∴g（﹣1）=g（1）； 即ln（1+e﹣4）﹣a=ln（1+e4）+a； ∴ln（1+e4）﹣lne4﹣a=ln（1+e4）+a； ∴﹣4﹣a=a； ∴a=﹣2； （2）令f（x）=t，x∈[e﹣1，e3﹣1]，∴t∈[1，3]； 设y=h（x），则y=； ①若，即时，当t=1时，ymin=2m=﹣4； ∴m=﹣2与不符； ②若，即时，当时，； 解得m=，或（舍去）； ③若，即时，当t=3时， ymin=6m+6=﹣4； ∴，与不符； 综上得，m的值为． 【点评】考查已知f（x）求f[g（x）]的方法，偶函数的定义，换元法的应用，配方求二次函数最值的方法，根据二次函数的单调性求二次函数在闭区间上的最值． 　

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