题目

在平面直角坐标系xOy中，点M到点F(1，0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C. (1)求轨迹C的方程； (2)设斜率为k的直线l过定点P(－2，1)，求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围． 答案：解：(1)设点M(x，y)，依题意得|MF|＝|x|＋1，即＝|x|＋1， 化简整理得y2＝2(|x|＋x)． 故点M的轨迹C的方程为y2＝ (2)在点M的轨迹C中，记C1：y2＝4x，C2：y＝0(x<0)． 依题意，可设直线l的方程为y－1＝k(x＋2)． 由方程组可得ky2－4y＋4(2k＋1)＝0.① 当k＝0时，y＝1.把y＝1代入轨迹C的方程，得x＝. 故此时直线l：y＝1与轨迹C恰好有一个公共点 当k≠0时，方程①的判别式Δ＝－16(2k2＋k－1)．② 设直线l与x轴的交点为(x0，0)，则由y－1＝k(x＋2)，令y＝0，得x0＝－.③ (i)若由②③解得k<－1或k>. 即当k∈(－∞，－1)∪时，直线l与C1没有公共点，与C2有一个公共点．故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点． (ii)若或 ．

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