题目

如图,已知椭圆C：(m＞0)，经过其右焦点F且以a=（1,1)为方向向量的直线l交椭圆C于A、B两点，M为线段AB的中点，设O为椭圆的中心，射线OM交椭圆C于N点．（1）求证：;（2）求的值． 答案：（1）证明:∵a2=m2,b2=m2,∴c2=a2-b2=m2.∴F(m,0).∵直线l过焦点F(m,0)且与向量a=(1,1)平行,∴直线l的方程为y=x-m.将其代入椭圆C的方程，并整理可得8x2-10mx-m2=0.①设A(xA,yA),B(xB,yB),M(xM,yM),N(xN,yN).∵M是线段AB的中点，在方程①中由韦达定理,可得xM==m,yM=xM-m=-m,∴M(m,-m).设N′为OM延长线上的点，且M为ON′的中点，则N′(m,-m)，且四边形OAN′B为平行四边形.将N′的坐标代入椭圆C方程的左端并化简得·(m)2+·(-m)2=m2,∴N′点在椭圆C上,N′与N点重合.∴四边形OANB为平行四边形,于是+=.（2）解:∵·=xAxB+yAyB,在方程①中由韦达定理，得xAxB=-m2,∴yAyB=(xA-m)(xB-m)=xAxB-m(xA+xB)+m2=-m2-m2+m2=-m2.1∴·=-m2-m2=-m2.

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