题目

和正三角形CDE，AD与BE交与点O，AD与BC交与点P，BE与CD交与点Q，连接PQ．有下列结论： ①AD=BE；②AP=BQ；③∠AOB=60°；④DE=DP；⑤△CPQ为正三角形．其中正确的结论有（　　） A．①②③⑤ B．①③④⑤ C．①②⑤ D．②③④ 答案：A【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【分析】根据等边三角形性质得出AC=BC，DC=CE，∠BCA=∠DCE=60°，求出∠ACD=∠BCE，证△ACD≌△BCE，推出AD=BE，即可判断①；根据全等三角形性质得出∠CBE=∠CAD，根据ASA证△ACP≌△BCQ，推出AP=BQ，即可判断②；对应角相等可得∠CAD=∠CBE，然后证明△ACP与△BCQ全等，根据全等三角形对应角相等可得PC=PQ，从而得到△CPQ是等边三角形，所以⑤正确求出∠DCE=60°=∠CAD+∠ADC，求出∠CAD+∠BEC=60°，即可求出∠AOB=60°，即可判断③；根据三角形外角性质推出∠DPC＞∠DCP，推出DP＜DC，即可判断④．【解答】解：∵△ABC和△DCE是正三角形， ∴AC=BC，DC=CE，∠BCA=∠DCE=60°， ∴∠BCA+∠BCD=∠DCE+∠BCD， ∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中 ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD=BE，∴①正确； ∵△ACD≌△BCE， ∴∠CBE=∠CAD， ∵∠ACB=∠DCE=60°， ∴∠BCD=60°=∠ACB，在△ACP和△BCQ中 ∴△ACP≌△BCQ（ASA）， ∴AP=BQ，∴②正确； PC=QC， ∴△CPQ为正三角形∴⑤正确 ∵△ACD≌△BCE， ∴∠ADC=∠BEC， ∠DCE=60°=∠CAD+∠ADC， ∴∠CAD+∠BEC=60°， ∴∠AOB=∠CAD+∠BEC=60°，∴③正确； ∵△DCE是正三角形， ∴DE=DC， ∵∠AOB=60°，∠DCP=60°，∠DPC＞∠AOB， ∴∠DPC＞∠DCP， ∴DP＜DC，即DP＜DE，∴④错误；所以正确的有①②③⑤，故选A．

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