题目

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，过B,C两点的⊙O交AC于点D，交AB于点E，连接EO并延长交⊙O于点F.连接BF,CF.若∠EDC=135°,CF=,则AE2+BE2的值为     （     ） A．8                           B．12                          C．16                         D．20 答案：C 【分析】 根据圆内接四边形的性质及邻补角的定义可得∠ADE=∠ABC=45°，再证得∠ADE=∠A=45°即可得AE=AD；根据直径所对的圆周角是直角可得∠FCE=90°，在Rt△EFC中求得EF=4；连接BD，可证得BD为为⊙O的直径，在Rt△BDE中根据勾股定理可得,由此即可得结论. 【详解】 ∵∠EDC=135°， ∴∠ADE=45°，∠ABC=180°-∠EDC =180°-135°=45°； ∵∠ACB=90°， ∴∠A=45°， ∴∠ADE=∠A=45°， ∴AE=AD，∠AED=90°； ∵EF 为⊙O的直径， ∴∠FCE=90°， ∵∠ABC=∠EFC=45°，CF=， ∴EF=4； 连接BD， ∵∠AED=90°， ∴∠BED=90°， ∴BD 为⊙O的直径， ∴BD=4； 在Rt△BDE中，, ∴AE2+BE2=16. 故选C. 【点睛】 本题考查了圆周角定理及其推论、圆内接四边形的性质及勾股定理等知识点，会综合运用所学的知识点解决问题是解题的关键.

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