题目

如图，二次函数的图象与x轴相交于点A（﹣3，0）、B（﹣1，0），与y轴相交于点C（0，3），点P是该图象上的动点；一次函数y=kx﹣4k（k≠0）的图象过点P交x轴于点Q． （1）求该二次函数的解析式； （2）当点P的坐标为（﹣4，m）时，求证：∠OPC=∠AQC； （3）点M、N分别在线段AQ、CQ上，点M以每秒3个单位长度的速度从点A向点Q运动，同时，点N以每秒1个单位长度的速度从点C向点Q运动，当点M、N中有一点到达Q点时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒． ①连接AN，当△AMN的面积最大时，求t的值； ②线段PQ能否垂直平分线段MN？如果能，请求出此时直线PQ的函数关系式；如果不能请说明你的理由． 答案：【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）利用交点式求出抛物线的解析式； （2）证明四边形POQC是平行四边形，则结论得证； （3）①求出△AMN面积的表达式，利用二次函数的性质，求出△AMN面积最大时t的值．注意：由于自变量取值范围的限制，二次函数并不是在对称轴处取得最大值； ②直线PQ上的点到∠AQC两边的距离相等，则直线PQ能平分∠AQC，所以直线PQ能垂直平分线段MN． 【解答】解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+3）（x+1）， ∵抛物线经过点C（0，3）， ∴3=a×3×1，解得a=1， ∴抛物线的解析式为：y=（x+3）（x+1）=x2+4x+3； （2）证明：当x=﹣4时，y=3， ∴P（﹣4，3）， ∵C（0，3）， ∴PC=4且PC∥x轴， ∵一次函数y=kx﹣4k（k≠0）的图象交x轴于点Q，当y=0时，x=4， ∴Q（4，0），即OQ=4， ∴PC=OQ，又∵PC∥x轴， ∴四边形POQC是平行四边形， ∴∠OPC=∠AQC； （3）①过点N作ND⊥x轴于点D，则ND∥y轴． ∴△QND∽△QCO ∴=， 在Rt△OCQ中， CQ===5， ∴=， ∴ND=（5﹣t）， ∴S△AMN=AM•ND=•3t•（5﹣t）=﹣（t﹣）2+， ∵0≤x≤， ∴当t=时，△AMN的面积最大；  ②能．假设PQ垂直平分线段MN，则QM=NQ， ∴7﹣3t=5﹣t， ∴t=1．此时AM=3， 即点M与点O重合，QM=NQ=4． 如图，设PQ交y轴于点E， ∵∠MND=90°﹣∠NMD=∠MQE， ∴Rt△MND∽Rt△EQM， ∴=． ∵ND=，DQ=， ∴MD=，∴MD=． ∴E（0，）， ∵Q（4，0）， ∴直线QE为y=﹣x+． 即直线PQ为y=﹣x+． 【点评】本题是二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、一次函数、相似三角形、平行四边形、角平分线的性质、二次函数的最值等知识点．试题难度不大，需要注意的是（3）①问中，需要注意在自变量取值区间上求最大值，而不能机械地套用公式． 　

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