题目

22.设a0为常数，且an=3n－1－2an－1（n∈N+）.  （Ⅰ）证明对任意n≥1，an=［3n+（－1）n－1·2n］+（－1）n·2na0； （Ⅱ）假设对任意n≥1有an>an－1，求a0的取值范围.  答案：22. （Ⅰ）证法一：（i）当n=1时，由已知a1=1－2a0.等式成立；（ii）假设当n=k（k≥1）等式成立，即ak=［3k+（－1）k－12k］+（－1）k2ka0，那么ak+1=3k－2ak=3k－［3k+（－1）k－1·2k］－（－1）k2k+1a0=［3k+1+（－1）k2k+1］+（－1）k+12k+1a0，也就是说，当n=k+1时，等式也成立.根据（i）和（ii），可知等式对任何n∈N+成立. 证法二：如果设an－a3n=－2（an－1－a3n－1）， 用an=3n－1－2an－1代入，可解出a=. 所以{an－}是公比为－2，首项为a1－的等比数列， ∴an－=（1－2a0－）（－2）n－1（n∈N+）， 即an= +（－1）n2na0. （Ⅱ）解法一：由an通项公式an－an－1=+（－1）n3×2n－1a0， ∴an>an－1（n∈N+）等价于（－1）n－1（5a0－1）<（）n－2（n∈N+）.            ①（i）当n=2k－1，k=1，2，…时， ①式即为（－1）2k－2（5a0－1）<（）2k－3，即为a0<（）2k－3+.                                                       ② ②式对k=1，2，…都成立，有a0<×（）－1+=. （ii）当n=2k，k=1，2，…时，①式即为（－1）2k－1·（5a0－1）<（）2k－2，即为a0>－×（）2k－2+.                                                ③ ③式对k=1，2，…都成立，有a0>－×（）2×1－2+=0. 综上，①式对任意n∈N+成立，有0<a0<. 故a0的取值范围为（0，）. 解法二：如果an>an－1（n∈N+）成立，特别取n=1，2有a1－a0=1－3a0>0，a2－a1=6a0>0， 因此0<a0<. 下面证明当0<a0<时，对任意n∈N+，有an－an－1>0. 由an通项公式5（an－an－1）=2×3n－1+（－1）n－13×2n－1+（－1）n5×3×2n－1a0. （i）当n=2k－1，k=1，2，…时， 5（an－an－1）=2×3n－1+3×2n－1－5×3×2n－1a0>2×2n－1+3×2n－1－5×2n－1=0. （ii）当n=2k，k=1，2，…时， 5（an－an－1）=2×3n－1－3×2n－1+5×3×2n－1a0>2×3n－1－3×2n－1≥0. 故a0的取值范围为（0，）.

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