题目

在正方体AC1中,M、N分别为A1B1、A1D1的中点,E、F分别为B1C1、C1D1的中点.(1)求证平面AMN∥平面EFDB;(2)求平面AMN与平面EFDB间的距离. 答案：解:(1)∵AC1是正方体,M、F分别为棱A1B1、D1C1的中点,∴AM∥DF.又DF平面EFDB,∴AM∥平面EFDB.同理,AN∥平面EFDB,而AM∩AN=A,∴平面AMN∥平面EFDB. (2)取BB1、CC1的中点Q、P,连结A1Q、A1P,∵PQ∥BC,∴PQ⊥面AB1.又∵M为A1B1的中点,∴AM⊥A1Q.由三垂线定理得A1P⊥AM.又PC1⊥面A1C1,M、N分别为A1B1、A1D1的中点,∴A1C1⊥MN.由三垂线定理得A1P⊥MN,而AM∩MN=M,∴A1P⊥面AMN.由(1)知面AMN∥面EFDB,∴A1P⊥面EFDB.设A1P与这两个平行平面交于O1、O2,如图所示,则O1O2的长为两平行平面间的距离,在平行四边形AA2A3A4中,O1O2=.

查看本题答案和解析