题目

已知数列{an}是正数组成的等差数列，Sn是其前n项的和，并且a3=5,a4S2=28.(1)求数列{an}的通项公式；（2）求证：不等式(1+)(1+)…(1+)·对一切n∈N+均成立. 答案：思路分析：第（2）问中的不等式左侧，每个括号的规律是一致的，因此显得“多余”，所以可尝试变形，即把不等式两边同乘以，然后再证明.(1)解：设数列{an}的公差为d，由已知，得∴(10-3d)(5+d)=28,∴3d2+5d-22=0,解之得d=2或d=.∵数列{an}各项均为正，∴d=2.∴a1=1,∴an=2n-1.(2)证明：∵n∈N+,∴只需证明(1+)(1+)…(1+)≥成立.①当n=1时，左边=2，右边=2，∴不等式成立.②假设当n=k时，不等式成立，即（1+）(1+)…(1+)≥.那么当n=k+1时，(1+)(1+)…(1+)(1+)≥(1+)=以下只需证明.即只需证明2k+2≥.∵(2k+2)2-()2=1＞0,∴(1+)(1+)…(1+)≥.综上①②知，不等式对于n∈N+都成立.

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