题目

已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点A(0，)为圆心，1为半径的圆相切，又知C的一个焦点与A关于直线y=x对称.(1)求双曲线C的方程；(2)若Q是双曲线C上的任一点，F1、F2为双曲线C的左、右两个焦点，从F1引∠F1QF2的平分线的垂线，垂足为N，试求点N的轨迹方程. 答案：解析：(1)设双曲线C的渐近线方程为y=kx,即kx-y=0.∵该直线与圆x2+(y-)2=1相切，∴双曲线C的两条渐近线方程为y=±x.故设双曲线C的方程为=1.又双曲线C的一个焦点为(,0)，∴2a2=2,a2=1.∴双曲线C的方程为x2-y2=1.(2)若Q在双曲线的右支上，则延长QF2到T，使|QT|=|QF1|.若Q在双曲线的左支上，则在QF2上取一点T，使|QT|=|QF1|.根据双曲线的定义|TF2|=2，所以点T在以F2(,0)为圆心，2为半径的圆上，即点T的轨迹方程是(x-)2+y2=4(x≠0).                                                  ①由于点N是线段F1T的中点，设N(x,y),T(xT,yT),则即代入①并整理得点N的轨迹方程为x2+y2=1(x≠-).

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