题目

19.在棱长为a的正方体OABC—中，E、F分别是棱AB、BC上的动点，且AE＝BF. (1)求证：A′F⊥C′E；(2)当三棱锥B′—BEF的体积取得最大值时，求二面角B′—EF—B的大小.(结果用反三角函数表示) 答案：19.(1)［证明］如图，以O为原点建立空间直角坐标系. 设AE=BF=x，则A′(a，0，a)、F(a－x，a，0)、C′(0，a，a)、          E(a，x，0)， =(－x，a，－a)，=(a，x－a，－a). 　∵·=－xa+a(x－a)+a2=0，∴A′F⊥C′E.                                       　 (2)［解］记BF=x，BE=y，则x+y=a，三棱锥B′—BEF的体积V=xya≤=a3，当且仅当x=y=时，等号成立.因此，三棱锥B′—BEF的体积取得最大值时，BE=BF=.过B作BD⊥EF交EF于D，连B′D，可知B′D⊥EF.∴∠B′DB是二面角B′—EF—B的平面角.在直角三角形BEF中，直角边BE=BF=，BD是斜边上的高，∴BD=a.tanB′DB==2，故二面角B′—EF—B的大小为arctan2.

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