题目

已知x∈R，求证：cosx≥1﹣． 　 答案：【考点】三角函数线． 【专题】函数思想；综合法；三角函数的图像与性质． 【分析】先求出函数f（x）的导数，得到函数f（x）的单调性，从而求出其最小值为f（0）=0，再结合函数的奇偶性证明即可． 【解答】证明：令f（x）=cosx﹣1+，则f′（x）=x﹣sinx． 当x＞0时，由单位圆中的正弦线知必有x＞sinx， ∴f′（x）＞0， 即f（x）在（0，+∞）上是增函数． 又∵f（0）=0，且f（x）连续， ∴f（x）在区间[0，+∞]内的最小值 f（0）=0， 即f（x）≥0，得cosx﹣1+≥0， 即cosx≥1﹣．∵f（﹣x）=cos（﹣x）﹣1+=f（x）， ∴f（x）为偶函数， 即当x∈（﹣∞，0）时，f（x）≥0仍成立． ∴对任意的x∈R，都有cosx≥1﹣． 【点评】本题考察了不等式的证明，考察函数的单调性和奇偶性问题，是一道中档题． 　

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