题目

已知数列{an}的前n项和为Sn满足，且 （I）试求出S1，S2，S3的值； （Ⅱ）根据S1，S2，S3的值猜想出Sn关于n的表达式，并用数学归纳法证明你的结论． 答案：考点： 数学归纳法；数列的求和；归纳推理． 专题： 等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法． 分析： （I）由题设可得求得S1，S2，S3 的值，猜测 （Ⅱ）利用数学归纳法加验证n=1时猜想成立，然后假设n=k时猜想成立，证明n=k+1时猜想也成立． 解答： 解：S1=a1=， S2=S1+=， S3=S2+= （Ⅱ）由（I）猜想 ①当n=1时，左边=S1=a1=，右边==，等式成立． ②假设n=k时等式成立，即 则当n=k+1时，左边=== 即当n=k+1时，等式成立． 由①②可知，当时对任意正整数n都成立． 点评： 本题的考点是数学归纳法，主要考查已知数列的递推关系式，求出数列的前几项，猜想通项公式，利用数学归纳法证明猜想成立，注意数学归纳法证明时，必须用上假设．证明当n=k+1时，猜想也成立，是解题的难点和关键．

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