题目

已知函数f(x)＝x3－ax2－3x. (1)若f(x)在x∈[1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围； (2)若方程f(x)＝(a2－3)x－1(a>0)至多有两个解，求实数a的取值范围． 答案：解：(1)f′(x)＝3x2－2ax－3≥0，∵x≥1，∴a≤(x－)． 当x≥1时，(x－)是增函数，其最小值为(1－1)＝0，∴a≤0. (2)令h(x)＝f(x)－(a2－3)x＋1，h′(x)＝3x2－2ax－a2＝0， 得x＝a或x＝－，∵a>0，∴有 x (－∞，－) － (－，a) a (a，＋∞) h′(x) ＋ 0 － 0 ＋ h(x) a3＋1 －a3＋1 ∴x＝－时h(x)有极大值，h(x)极大值＝h(－)＝a3＋1. x＝a时h(x)有极小值，h(x)极小值＝h(a)＝－a3＋1， ∵若方程f(x)＝(a2－3)x－1(a>0)至多有两个解， ∴h(a)≥0或h(－)≤0， ∴－a3＋1≥0或a3＋1≤0(舍)，解得0<a≤1.

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