题目

已知函数f（x）=﹣x3+ax2+1（a∈R）． （1）若函数y=f（x）在区间上递增，在区间[，+∞）上递减，求a的值； （2）当x∈[0，1]时，设函数y=f（x）图象上任意一点处的切线的倾斜角为θ，若给定常数a∈（，+∞），求θ的取值范围； （3）在（1）的条件下，是否存在实数m，使得函数g（x）=x4﹣5x3+（2﹣m）x2+1（m∈R）的图象与函数y=f（x）的图象恰有三个交点．若存在，请求出实数m的值；若不存在，试说明理由． 答案：解答： 解：由于函数f（x）=﹣x3+ax2+1（a∈R）． 则导函数f′（x）=﹣3x2+2ax （1）由于函数y=f（x）在区间上递增，在区间[，+∞）上递减， 则得函数在x=处取得极值，即f′（）=0， 则﹣3×2+2a×=0，解得a=1． （2）由于tanθ=f′（x）=﹣3x2+2ax=﹣3（x﹣）2+， ∵a∈（，+∞），∴ ①当∈（，1]，即a时，，f′（x）min=f′（0）=0 即0≤tanθ≤ ①当∈（1，+∞），即a∈（3，+∞），时，f′（x）max=f'（1）=2a﹣3，f′（x）min=f′（0）=0 即0≤tanθ≤2a﹣3 ∵0≤θ≤π，∴当a时，θ∈[0，arctan]； 当a∈（3，+∞）时，θ的取值范围是[0，arctan（2a﹣3）]． （3）在（1）的条件下，a=1， 要使函数f（x）与g（x）=x4﹣5x3+（2﹣m）x2+1的图象恰有三个交点， 等价于方程﹣x3+x2+1=x4﹣5x3+（2﹣m）x2+1， 即方程x2（x2﹣4x+1﹣m）=0恰有三个不同的实根． ∵x=0是一个根， ∴应使方程x2﹣4x+1﹣m=0有两个非零的不等实根， 由△=16﹣4（1﹣m）＞0，1﹣m≠0，解得m＞﹣3，m≠1 ∴存在m∈（﹣3，1）∪（1，+∞）， 使得函数f（x）与g（x）=x4﹣5x3+（2﹣m）x2+1的图象恰有三个交点．

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