题目

已知圆P：（x﹣1）2+y2=8，圆心为C的动圆过点M（﹣1，0）且与圆P相切． （1）求动圆圆心的轨迹方程； （2）若直线y=kx+m与圆心为C的轨迹相交于A，B两点，且kOA•kOB=﹣，试判断△AOB的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．（O为坐标原点） 答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程． 【分析】（1）利用椭圆定义可知，点C的轨迹E是以P（1，0），M（﹣1，0）为焦点，长轴长为2的椭圆，由此能求出动圆圆心C的轨迹方程． （2）设A（x1，y1），B（x2，y2），把直线的方程与椭圆的方程联立可化为关于x的一元二次方程得到根与系数的关系、再利用弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式即可得出结果． 【解答】解：（1）设动圆半径为r，则|CP|=2﹣r，|CM|=r， 又P（1，0），M（﹣1，0）， ∴|CP|+|CM|=2＞|PM|=2， 由椭圆定义可知，点C的轨迹E是以P（1，0），M（﹣1，0）为焦点，长轴长为2的椭圆， ∴动圆圆心C的轨迹方程为． （2）设A（x1，y1），B（x2，y2）， 由，化为（1+2k2）x2+4mkx+2（m2﹣3）=0， △=16m2k2﹣8（1+2k2）（m2﹣3）＞0，化为6k2﹣m2+3＞0， ，， y1y2=（kx1+m）（kx2+m）==， ∵kOA•kOB=﹣， ∴=﹣，∴， ∴，化为2m2﹣6k2=3， |AB|=•=• =2••=， 圆心O（0，0）到直线y=kx+m的距离d=， ∴S△AOB======． ∴△AOB的面积为定值． 　

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