题目

已知AB是圆O的切线，切点为B，直线AO交圆O于C、D两点，CD=2，∠DAB=30°，动点P在直线AB上运动，PC交圆O于另一点Q． （1）当点P运动到使Q、C两点重合时（如图1），求AP的长； （2）点P在运动过程中，有几个位置（几种情况）使△CQD的面积为？（直接写出答案） （3）当△CQD的面积为，且Q位于以CD为直径的上半圆，CQ＞QD时（如图2），求AP的长． 答案：解：（1）∵AB与⊙O相切于点B，∴∠ABO=90°． ∵∠DAB=30°，OB=CD=×2=1， ∴AO=2OB=2，AC=AO﹣CO=2﹣1=1． 当Q、C两点重合时，CP与⊙O相切于点C，如图1， 则有∠ACP=90°， ∴cos∠CAP===， 解得AP=； （2）有4个位置使△CQD的面积为． 提示：设点Q到CD的距离为h， ∵S△CQD=CD•h=×2×h=， ∴h=． 由于h=＜1，结合图2可得： 有4个位置使△CQD的面积为； （3）过点Q作QN⊥CD于N，过点P作PM⊥CD于M，如图3． ∵S△CQD=CD•QN=×2×QN=，∴QN=． ∵CD是⊙O的直径，QN⊥CD， ∴∠CQD=∠QND=∠QNC=90°， ∴∠CQN=90°﹣∠NQD=∠NDQ， ∴△QNC∽△DNQ， ∴=， ∴QN2=CN•DN， 设CN=x，则有=x（2﹣x）， 整理得4x2﹣8x+1=0， 解得：x1=，x2=． ∵CQ＞QD，∴x=， ∴=2+． ∵QN⊥CD，PM⊥CD， ∴∠PMC=∠QNC=90°． ∵∠MCP=∠NCQ， ∴△PMC∽△QNC， ∴==2+， ∴MC=（2+）MP． 在Rt△AMP中， tan∠MAP==tan30°=， ∴AM=MP． ∵AC=AM+MC=MP+（2+）MP=1， ∴MP=， ∴AP=2MP=．

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