题目

在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA1=2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G.(1)求A1B与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；(2)求点A1到平面AED的距离. 答案：解法一：（1）连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即∠EBG是A1B与平面ABD所成的角.设F为AB的中点，连结EF、FC，∵D、E分别是CC1、A1B的中点，又DC⊥平面ABC，∴CDEF为矩形.连结DF，G是△ADB的重心，∴G∈DF.在Rt△EFD中，EF2=FG·FD=FD2，∵EF=1，∴FD=.于是ED=.EG=.∵FC=ED=,∴AB=2,A1B=2,EB=.∴sinEBG=.∴A1B与平面ABD所成的角是arcsin.（2）连结A1D，有.∵ED⊥AB，ED⊥EF.又EF∩AB=F,∴ED⊥平面A1AB.设A1到平面AED的距离为h，则S△AED·h=·ED.又==A1A·AB=,S△AED=AE·ED=.∴h=，即A1到平面AED的距离为.解法二：（1）连结BG，则BG是BE在面ABD上的射影，即∠A1BG是A1B与平面ABD所成的角.如上图所示，建立坐标系，坐标原点为O.设CA=2a，则A（2a,0,0）,B(0,2a,0),D(0,0,1),A1(2a,0,2),E(a,a,1),G(,,).∴=（）,=(0,-2a,1).∴·=-=0.解得a=1.∴=(2,-2,2),=().∴cosA1BG==.∴A1B与平面ABD所成的角是arccos.（2）由(1)有A(2,0,0),A1(2,0,2),E(1,1,1),D(0,0,1).=（-1，1，1）·（-1，-1，0）=0，·=（0，0，2）·（-1，-1，0）=0，∴ED⊥平面AA1E.又ED平面AED,∴平面AED⊥面AA1E，又面AED∩面AA1E=AE，∴点A1在平面AED上的射影K在AE上.设，则=（-λ,λ,λ-2）.由=0，即λ+λ+λ-2=0.解得λ=.∴=(-,,-).∴||=.故A1到平面AED的距离为.

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