题目

设a，b∈N，｛an｝是首项为a，公差为b的等差数列，｛bn｝是首项为b，公比为a的等比数列，且满足a1＜b1＜a2＜b2＜a3.（1）求a的值；（2）对于某项am，存在bn，使am+1=bn成立，求b的值并推导m与n的关系式；（3）在｛an｝中，对于满足（2）的项，求它的前k项和. 答案：思路解析：紧紧围绕a，b∈N对题目进行分析及运算.解：（1）∵a1＜b1＜a2＜b2＜a3，∴∴∴a=2（b＞a=2）.（2）由am+1=bn，得a+b（m-1）+1=b·2n-1，∴3+b（m-1）=b·2n-1.∴+m-1=2n-1.∴∈N.又∵b＞2，∴b=3，m=2n-1.（3）由（2）知，am=bn-1=3·2n-1-1，所以｛an｝中满足（2）的项的前k项和Sk=（3×21-1-1）+（3×22-1-1）+（3×23-1-1）+…+（3×2k-1-1）=3-1+3×2-1+3×22-1+…+3×2k-1-1=3-k+3×（2+22+…+2k-1）=3-k+3×=3·2k-k-3.

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