题目

已知函数f（x）=（a≠0）． （Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间； （Ⅱ）设g（x）=f（x）﹣﹣lnx，若g（x）在区间（0，2）上有两个极值点，求实数a的取值范围． 答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性． 【分析】（Ⅰ）将a=1代入f（x），求出f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； （Ⅱ）求出g（x）的导数，问题转化为即y=ex和y=在（0，2）有2个交点，画出函数的图象，结合图象求出a的范围即可． 【解答】解：（Ⅰ）a=1时，f（x）=， f′（x）=， 令f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜0，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜2， ∴∴f（x）在（0，2）递减，在（﹣∞，0），（2，+∞）递增； （Ⅱ）g（x）=f（x）﹣﹣lnx=﹣﹣lnx，x∈（0，2）， g′（x）=，x∈（0，2）， 若g（x）在区间（0，2）上有两个极值点， 则h（x）=aex﹣x在（0，2）有2个实数根， 即ex=在（0，2）有2个实数根， 即y=ex和y=在（0，2）有2个交点， 如图示： ， 由e2=，解得：a=， 若g（x）在区间（0，2）上有两个极值点， 则a＞． 　

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