题目

17. 已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1，AB＝1，AA1＝2，点E为CC1中点，点F为BD1中点. （Ⅰ）证明EF为BD1与CC1的公垂线；（Ⅱ）求点D1到面BDE的距离. 答案： （Ⅰ）证法一：取BD中点M，连结MC、FM，∵F为BD1中点，∴FM∥D1D且FM＝D1D.又EC＝CC1且EC⊥MC，∴四边形EFMC是矩形，∴EF⊥CC1.                                                                     又CM⊥面DBD1，∴EF⊥面DBD1，∵BD1面DBD1，∴EF⊥BD1.故EF为BD1与CC1的公垂线.                                          证法二：建立如图的坐标系，得B（0，1，0），D1（1，0，2），F（，，1），C1（0，0，2），E（0，0，1）.∴=（，，0），=（0，0，2），=（1，－1，2）.                                                          ∴·=0，·=0，即EF⊥CC1，EF⊥BD1.故EF是CC1与BD1的公垂线.                                          （Ⅱ）解：连结ED1，有=.由（Ⅰ）知EF⊥面DBD1，设点D1到面BDE的距离为d， 则S△DBE·d=·EF.                                                    ∵AA1=2，AB=1， ∴BD=BE=ED=，EF=. ∴=··2=， S△DBE=··（）2=. ∴d==. 故点D1到平面BDE的距离为. 

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