题目

多面体AEDBFC的直观图及三视图如图所示，M、N分别为AF、BC的中点． ⑴求证：MN∥平面CDEF； ⑵求多面体A—CDEF的体积； ⑶求证：CE⊥AF． 答案：（本题满分12分） 证明：⑴由多面体AEDBFC的三视图知， 三棱柱AED—BFC中 底面DAE是等腰直角三角形， DA＝AE＝2，DA⊥平面ABEF， 侧面ABFE，ABCD都是边长为2的正方形．  1分 连结EB，则M是EB的中点，在△EBC中，MN∥EC， 且EC平面CDEF，MN平面CDEF， ∴MN∥平面CDEF．  4分 ⑵因为DA⊥平面ABEF，EF平面ABEF， ∴EF⊥AD，又EF⊥AE，所以，EF⊥平面ADE， ∴四边形CDEF是矩形，且侧面CDEF⊥平面DAE 取DE的中点H，∵DA⊥AE，DA＝AE＝2，∴， 且AH⊥平面CDEF．所以多面体A—CDEF的体积 ．   8分 ⑶∵DA⊥平面ABEF，DA∥BC， ∴BC⊥平面ABEF，∴BC⊥AF， ∵面ABFE是正方形，∴EB⊥AF， ∴AF⊥面BCE，∴CE⊥AF．    12分

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